怎么判别一个矩阵负定

在线性代数中，一个矩阵被称为负定的条件是它的所有特征值都为负。特征值是方阵在特征空间上的变化方式，可以通过对矩阵进行特征值分解来求解。特征值分解将矩阵分解为特征值的对角矩阵和特征向量的矩阵乘积。

要判断一个矩阵是否为负定，可以按照以下步骤进行：

1. 对矩阵进行特征值分解：将矩阵A分解为A=QΛQ^-1，其中Q是特征向量的矩阵，Λ是特征值的对角矩阵。特征向量按列排列在Q中，特征值按对角线排列在Λ中。

2. 检查Λ中的特征值是否全部为负数。如果矩阵A的所有特征值都是负数，那么矩阵A就是负定的。

3. 在某些情况下，矩阵可能是对称的。如果矩阵A是对称的，那么特征向量矩阵Q是正交的，即Q*Q=Q^-1。在这种情况下，可以简化为检查A的特征向量矩阵Q中是否存在一个向量x，使得x*A*x<0。如果存在这样的向量，则矩阵A是负定的。

需要注意的是，判断一个矩阵是否为负定的方法并不是唯一的，还可以使用Sylvester判别准则、主子式判别准则等方法。此外，还可以使用数值计算的方法，例如使用特征值分解后的矩阵进行数值计算来检查特征值是否全部小于零。

总之，判断一个矩阵是否为负定需要对其进行特征值分解，并检查特征值是否全部为负数。这种判断方法适用于对称矩阵和非对称矩阵。